Schulmathematik vom höheren Standpunkt (Wintersemester 2013/14)

Aktuelle Informationen

Die Scheinklausur findet am Freitag den 28. Februar 2014 um 11:30 Uhr im Hörsaal V57.04 statt.

Die letzte Übung der Montagsgruppe findet am Montag den 10. Februar um 9:45 Uhr (!) im Raum 7.527 (selber Raum wie immer) statt.

Hinweis

Eine solche Vorlesung wird an der Universität Stuttgart erstmals gehalten und kann natürlich nicht sofort perfekt sein. Wenn Sie also Anregungen, Vorschläge oder Kritik uüen möchten, so zögern Sie bitte nicht auf uns zuzukommen oder die Fachschaft zu kontaktieren!

Kontakt

Prof. Steffen König (Dozent)

Zimmer: Pfaffenwaldring 57, 7.519

Telefon: (0711) 685-65297

Sprechzeiten: Wird noch bekanntgegeben
Dipl.-Math. Leo Margolis (Assistenz)

Zeit und Ort

Vorlesungen:

Dienstag, 8:00 - 9:30 Uhr in V57.05.
Donnerstag, 14:00 - 15:30 Uhr in V57.05.

Übungen:

Montag, 11:30 - 13:00 Uhr in V7.527.
Donnerstag, 11:30 - 13:00 Uhr in V7.527.

Erste Vorlesung: Dienstag, 15. Oktober 2013.

Erste Übung: Donnerstag, 24. Oktober 2013.

Scheinklausur: Freitag, 28. Februar 2014, 11:30 Uhr in V57.04

Inhalt

Es werden in voneinander unabhängigen Kapiteln ausgewählte Themen aus Algebra, Geometrie
und eventuell Zahlentheorie betrachtet. Dabei soll jeweils die Schulmathematik in die strukturelle
Sichtweise der höheren Mathematik eingeordnet und dadurch ein vertieftes Verständnis,
insbesondere auch für Zusammenhänge, erreicht werden.

Kapitel 1: Dreiecke - der Satz des Pythagoras.
Dienstag 15.10.: Der Satz des Pythagoras. Diskussion von Beweisen.
Donnerstag 17.10.: Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras. Euklid und Euklids Elemente. Zu Euklids Definitionen.
Dienstag 22.10.: Zu Euklids Axiomen. Definition affiner Raum.
Donnerstag 24.10.: Äquivalente Definitionen affiner Raum. Definition angeordneter Körper. Eigenschaften und Beispiele.
Dienstag 29.10.: Euklidischer Vektorraum, Norm, Metrik, Winkel. Euklidischer affiner Raum. Cosinussatz und Satz des Pythagoras. Diskussion von Euklids Sätzen und Beweisen: Euklids Proposition I.1. Euklids Proposition I.2.
Donnerstag 31.10.: Euklids Proposition I.4 (Kongruenzsatz SWS). Satz des Pythagoras (die Windmühle).

Kapitel 2: Axiome und Grundbegriffe.
Dienstag 5.11.: Diskussion : Euklids Axiome und moderne Axiome. Beispiele endlicher affiner Ebenen. Euklids Axiom I.5, Geschichte des Parallelenaxioms. Axiom von Wallis. Saccheri, Winkel im Viereck und Winkelsumme im Dreieck.
Donnerstag 7.11.: Fortsetzung Geschichte des Parallelenaxioms. Modernes Parallelenaxiom. Von Euklids Axiom I.5 zum modernen Parallelenaxiom: Euklids Propositionen I.27 bis I.32.
Dienstag 12.11.: Euklids Proposition I.16.

Kapitel 3: Hilberts Axiome.
Dienstag 12.11.: Definition Inzidenzebene. Playfairs Axiom. Beispiele und Modelle. Konsistenz und Unabhängigkeit. Automorphismen.
Donnerstag 14.11.: Anordnungsrelationen. Strecken, Dreiecke. Seiten in Ebenen und Geraden.
Dienstag 19.11.: Fortsetzung Beweis (Seiten in Ebenen und Geraden). Strahlen, Winkel. Weitere Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen.
Donnerstag 21.11.: Erweiterung von Paschs Axiom. Kongruenz von Strecken. Addition von Strecken.
Dienstag 26.11.: Anordnung von Strecken. Kongruenz von Winkeln. Ergänzungswinkel.
Donnerstag 28.11.: Addition von Winkeln. Anordnung von Winkeln. Definition rechter Winkel. Hilbert-Ebene und neutrale Geometrie. Gütigkeit von Euklids Resultaten und Beweisen.
Dienstag 3.12.: Kreise. Eindeutigkeit des Mittelpunkts. Tangenten. Schnittpunkte von Kreisen mit Geraden. Schnittpunkte von Kreisen mit Kreisen.
Donnerstag 5.12.: Fortsetzung Schnitte von Kreisen mit Kreisen. Axiom (E). Euklidische Ebene.
Dienstag 10.12.: Euklids Proposition X.1. Dedekindsche Schnitte. Dedekinds Axiom.

Kapitel 4: Von synthetischer Geometrie zu Koordinaten.
Dienstag 10.12.: Problemstellung. Multiplikation von Strecken in einer Hilbert-Ebene mit Axiom (P).
Donnerstag 12.12.: Distributivgesetz. Division. Koordinaten in einer Hilbert-Ebene.
Dienstag 17.12.: Charakterisierung ähnlicher Dreiecke durch Proportionalität von Seitenlängen. Anwendung: Satz des Pythagoras.

Kapitel 5: Koordinatenebenen.
Dienstag 17.12.: Problemstellung. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
Donnerstag 19.12.: Satz von Descartes über konstruierbare Zahlen. Konstruierbare Zahlen und quadratische Körpererweiterungen.
Dienstag 7.1.: Unlösbarkeit klassischer Probleme: Würfelverdopplung, Winkeldreiteilung, Quadratur des Kreises. Beispiele konstruierbarer Zahlen. Regelmässige n-Ecke.
Donnerstag 9.1.: Geometrische Charakterisierung von Charakteristik zwei durch Parallelenkonfigurationen. Satz von Pappus und Kommutativität. Existenz einer Quadratwurzel aus zwei und Parallelenkonfigurationen.
Dienstag 14.1.: Anordungsaxiome und angeordnete Körper. Körpereigenschaften, die den Axiomen von Archimedes und von Dedekind entsprechen.
Donnerstag 16.1.: Pythagoreische Körper und das Kongruenzaxiom (K1). Euklidische Körper und das Axiom (E)=(KKS). Der Hilbert-Körper und total reelle konstruierbare Zahlen. Diskussion: Existenz von Kongruenzabbildungen und (K6)=(SWS).

Kapitel 6: Poincarés Modell der nichteuklidischen Geometrie.
Dienstag 21.1.: P-Punkte und P-Geraden. Inversion am Kreis, Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Geraden und Kreise unter Inversion.
Donnerstag 23.1.: Fortsetzung Beweis. Doppelverhätnis, unter Inversion. Inzidenzaxiome.
Dienstag 28.1.: Fortsetzung Inzidenzaxiome, Anordnungsaxiome. P-Kongruenz. (K2) bis (K5).
Donnerstag 31.1.: Kongruenzabbildungen, (ERM). (K1) und (K6).
Dienstag 4.2.: (E). Multiplikative Abstandsfunktion. Beispiele. (A) und (D). Grenzparallelen. Winkel und Abstand.
Donnerstag 6.2.: Fortsetzung Winkel und Abstand. Hyperbolische Ebene. Übersicht: Hilberts Arithmetik der Enden. Synthetische Geometrie und Koordinatengeometrie mit (P) und mit (G).